En efecto, en el lenguaje oral y en el registro coloquial, el anglicismo random se oye cada vez con más frecuencia. Este adjetivo inglés equivale al español aleatorio. Con esta palabra, por ejemplo, se ha venido traduciendo en los reproductores musicales para denominar el modo en el que las canciones no se reproducen en un orden previamente determinado. 

Por extensión, se aplica ahora a cualquier listado de elementos en los que el orden no es, en sí, un factor importante (vídeos de compras en YouTube en los que se comentan distintos productos, enumeraciones de cosas que se cuentan, etc.). 

A mayores, se acaba por emplear en casos como los que comenta (salir a lo random o plan random) para indicar que no hay un plan preestablecido; que, muy al contrario, la idea es más bien la que surja. También para indicar, como sucede en un poco random, que se trata de algo variado. 

Los equivalentes españoles aleatorio, al azar, arbitrario o abierto y miscelánea son voces que tienen los mismos sentidos y que se consideran preferibles: aleatorio encaja para las listas de reproducción musical y para los listados o enumeraciones en las que no se presta atención al orden de los elementos, y al azar o, incluso, abierto son válidas para cuando el plan de un viaje o de una simple tarde no está definido de antemano. Miscelánea, por su parte, es una de las formas que tiene el español para aludir a las mezclas, lo mixto o lo variado.